物理学

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悪魔の頭脳

2019/03/23

おはようございます。

前回、量子もつれを理解するために必要な量子力学の準備を少しお話ししました。

重要な2点は1.量子力学では量子化という手続きによって状態の集合であるヒルベルト空間を構成すること、そして2.状態は操作によって一般に変化すること、でした。

量子力学では様々な量が操作に格上げされるということもお話ししましたが、水素原子などの考えている対象(系(けい)と呼ばれます)がどの状態にあるか、という確率も例に漏れず操作に格上げされます。

この確率を測定する操作(ヒルベルト空間に作用する演算子)は密度行列と呼ばれ、通常ギリシャ文字のρ(ロー)と書かれます。

ポイントの2から一般的にはこの操作を行うと状態が変化してしまうのですが、記述の仕方を帰ることによって状態が変化しないように取ることができます。

イメージとしては、3次元空間で適当な回転を行うと縦横高さの軸は向きが変わってしまいますが、回転軸の方向を新たな「高さ」軸と取り直せば、
その回転の下で「高さ」軸の向きは変わりません。

同様な「軸」の取り直しを量子力学のヒルベルト空間でも行うことができ、確率を測定する密度行列ρを作用させても状態が変化しないようにできます。

そうすると、密度行列ρをある状態に作用させても、ただその状態を観測する確率を得るだけですので、ほとんどρと確率を同一視することができます。


こんな抽象的な説明ではわかりにくいと思いますので、少し数式も使ってみます。

量子力学では状態iは|i>と書きます。

したがって、状態iを観測する確率はρ|i>を計算することで求められます。

上で説明した軸の取り直しを行っておくと、状態は変化しません。

すると操作の結果ただ状態iを見つける確率p_iを得るだけですので、ρ|i>=p_i|i>という結果を得ます。

したがって、確率を測定する操作である密度行列ρはほとんど確率p_iと同じもの、と考えることができます。

ところで、シャノンエントロピーは-Σp_i log(p_i)、と定義されていました。

Σは全ての事柄に関して足し上げることを意味していました。

(つまり、具体的に書き下すと、-Σp_i log(p_i)=-p_1 log(p_1)-p_2 log(p_2)-p_3 log(p_3)-...となります。)

密度行列ρと確率p_iの同一視を使うと、-ρ log(ρ)という操作を考えてみたくなります。

これがだいたい欲しかったものなのですが、上の数式ではまだ確率p_iだけでなく状態|i>が残っていましたので、これを落とす手続きtrを用いて-tr(ρ log(ρ))とします。

この量(既に状態を落としたのでただの数になっています)はフォン・ノイマンエントロピーと呼ばれています。

(少し発展的な話:このtr(X)はXのトレースと呼ばれ、操作Xを同じ状態|i>で挟み(つまり<i|X|i>)、更に状態をラベルしているiについて和を取る(つまり<1|X|1>+<2|X|2>+...)手続きです。

軸を取り直しておくと<i|i>=1ですので、希望通り<i|ρ|i>=p_iと確率だけ取り出すことができます。

したがって、軸を取り直しておくことによってフォン・ノイマンエントロピーがシャノンエントロピーに帰着することがわかると思います。)

こうして定義したフォン・ノイマンエントロピーがほとんど量子もつれそのものです。

長くなってきましたので、更に次回に続きます。


P.S. フォン・ノイマンエントロピーは数学者フォン・ノイマンにちなんで名付けられました。

フォン・ノイマンはその脅威的な能力から「悪魔の頭脳」などと呼ばれ、逸話も多数残っています。



最後までお読みいただき、どうもありがとうございました。

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