物理学

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私が理論物理学の研究を通して身に付けて来た研究方法を、これらの問題に適用します。

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肉が付きました

2019/01/12

おはようございます。

前回解けないと言っていた問題、解けました。

現在手計算で得た結果が期待される性質を満たすかコンピュータに確認させています。

もう少し具体的には、前回お話しした(1次元の)円と2次元双曲空間をくっ付けた空間M上での相関関数が計算でき、それらが対称性の操作で消えるかを計算させています。

これらが期待通り消えれば手計算が正しいことをチェックできますので、論文原稿にこの結果も載せて、多少推敲した後投稿します。


さて、できたてほやほやの結果にどう至ったか、骨にどう肉を付けたかお話ししましょう。

(要点を先に書いてしまえば、やはり簡単な問題に帰着させ、そちらの問題を解いた、ということです。)

きっかけは水曜日の寝起きでした。

やはりうまいアイデアが思い付かないかと長めの睡眠時間を取っていたおかげか、起きた時ふと、空間Mを平らな空間に写した結果どうなるか思い浮かびました。

この考えが正しいことには自信がありましたが、確認するためすぐに起きて計算を始めました。

写した先(空間Nと呼びましょう)の共形対称性を計算してみると、空間Mのものと一致していることがわかり、一つチェックをパスしました。

(上で触れた、ある空間を別の空間に写す変換は共形写像(きょうけいしゃぞう)と呼ばれ、この変換の下では共形対称性は変わってはならないことが証明できます。

したがって、空間Mと空間Nの間に共形写像が存在する場合、共形対称性は同じにならなければなりません。)

この結果は空間Mと空間Nの間の共形写像が存在することを示唆しますが具体的にどんな変換かは何も教えてくれません。

相関関数を計算するには具体的な変換を作る必要があります。

さて、空間Mと平らな空間を関係付ける共形写像はよく知られたものが既に一つあったのですが、空間Nはその空間と少し異なりました。

知られた結果を素朴には使えないとなると、共形写像を自力で作るしかないかと思っていましたが、木曜の午後ふと2段階で共形写像を作るのは簡単そうだと気付きました。

というのも、空間Mは3次元の球面との間によく知られた共形写像があり、更に、平らな空間と球面の間の共形写像もよく知られているからです。

空間Mを球面に写すと、北極と南極を通る大円を取り除いた空間になっています。

一方、空間Nは平らな3次元から直線を一本取り除いたものです。

したがって、この取り除かれた直線が大円に重なるような球面への共形写像を考え、更に空間Mへ共形写像してやれば、求めていた空間Nから空間Mへの共形写像が得られます。

(共形写像は角度を保ちます。

直線のすぐ隣り合った2点で直線と接する2つの直線は180度をなす、つまり重なることがすぐわかります。

同様に、円上ですぐ隣り合った2点を取り、これらの点で円と接する2直線を引くと、やはり180度をなして重なることがわかります。

大雑把に言えば、丸いタイヤが平らな地面の上を滑らかに転がるのは、隣り合った2直線が180度をなすからです。

これを3角形のタイヤでも考えようものならガタガタしてしまい、滑らかに転がりません。

ガタガタするのは3角形の頂点の所で隣り合った2直線が180度をなさないからです。)

幸い空間N上で相関関数を計算する方法は既に整備されていましたので、すぐに計算でき、得られた結果を共形写像を使って空間Mに写しました。

一番簡単な場合を木曜の夜に計算してみた結果、空間M上で満たすべき性質を満たしていることがわかり、間違いないことを確信しました。

今日(金曜日)は次に簡単な場合を計算してみて、今その結果をコンピュータに確認させている、という次第です。


アプローチ方法は前回も書いた王道通りなのですが、少し抽象的に別の言葉で言い換えることもできます。

私自身がやったことと言えば、空間Nを思い付いたこと、そこから空間Mへの共形写像を2段階で行おうと考えたことくらいなんですね。

空間N上での相関関数の計算法は既にわかっていましたし、空間Nから球面、そして空間Mへの共形写像も知られていました。

つまり、私はほとんど既存の結果・道具を使っただけ、と言えます。

自力で必要な道具も全て整備していければそれは素晴らしいことですが、先人の知恵・人類の叡智などをうまく活用できれば問題もスムーズに効率的に解けます。

サクサク問題を解決していくには自力で問題を解く能力だけでなく、既存の道具をうまく使いこなす能力も必須です。


P.S. 後者は自立に対して依存と言えます。

最近は私の研究について話していましたが、ビジネスや人間関係の問題を考える場合は、人にうまく動いてもらうことで問題が効率的に解けます。

ビジネスを例に挙げると、購入して欲しいときにいつでも見込み客に購入という行動に踏み切ってもらうことができれば、経済面の問題は全て解決するのではないでしょうか。


相手は動きたいように動いているようで、実はこちらの望むように動いてもらう秘訣

http://ressentiment.club/mygt/



最後までお読みいただき、どうもありがとうございました。

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創刊日:2018-09-25  
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