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月光為替のマーケットよもやま話

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第22回 時系列分析の基礎 その4

2017/09/03

では、気を取り直して、時系列分析の続きをやっていこうと思う。今回はARモデル、ARMAモデルまで話を進めていきたい。(MAモデルを忘れた方は、第20回のメルマガを要復習)

ARモデルとは、Autoregressiveモデルと書き、日本語で書くと、自己回帰モデルだ。
ARMAモデルは、このARモデルとMAモデルを足し合わせたものであることが、容易に想像できるだろう。

さて、ここでこのARモデルでは、系列がAR過程に従うと仮定する。AR過程とは、

yt = a*yt-1 + b

のように、ytとyt-1の間に、何等かの関係性が存在する、つまり過程が自身の過去の値に回帰された形で自己相関を表現しようとした過程のことだ。

前回のMA過程がytとyt-1の間に共通成分を持たせることで自己相関を表現しようとした過程であるのに対し、明示的に回帰関係を定義することで自己相関を表現しようとしていることに注意してほしい。


ここで、1次のAR過程を定式化すると、

yt = c + φ*yt-1 + εt
εt ~ W.N.(σ^2)

とかける。φの絶対値が1より小さければ、この系列は定常になる、すなわち期待値c、分散σ^2の系列に収束していくことが見て取れると思うが、1より大きければ値が増大して発散していく。

Rでは、x = arima.sim(n=100,list(ar=0.5))(nはサンプル数、arはφ)

と書くことで簡単にシミユレート出来るので、試してみてほしい。

また、こちらもMA過程と同じく、n次まで拡張が可能だ。




さて、ここまでで学んできたAR過程とMA過程には、競合するパートが数式の中にないことから、2つを合わせて定式化することが出来る。それがARMA過程だ。(AutoRegressive and Moving Average)

ARの次数をp、MAの時数をqとした、(p,q)次のARMA過程を、以下のように定式化できる。


yt = c + φ1*yt-1 + ・・・+ φp*yt-p + εt + Θ1*εt-1 + ・・・ + Θq*εt-q
εtはホワイトノイズ


ここまで表すと、だんだんモデルの表現が豊かになってきたなぁと感じる事だろう。

さて、あまり先に一気に進むと消化不良を起こすので、この辺で止めておきたい。マーケットの分析にはタイムシリーズ分析とクロスセクション分析の二つがあるが、統計的なタイムシリーズ分析をする以上、基本中の基本として、ARIMAモデルは避けては通れない。(実運用にはほぼ有効ではない)


ついに次回、統計モデルの巨人でもあるARIMAモデルに触れていく。しっかりと前回、今回の時系列分析の回を復習して、次回のメルマガに臨んでほしい。


ということで、今週は終了。また次週をお楽しみに。




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創刊日:2017-03-09  
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  • 名無しさん2017/09/03

    難しくて、わかりません。