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大学入試センター試験過去問解説

今や大学受験に必須と言っても過言ではない大学入試センター試験。毎回1問ずつ詳細に解説していきます。

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創刊日:2009-01-29  
最終発行日:2018-10-19  
発行周期:隔週刊  
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◇◆ センター過去問解説 ◆◇ ≪2014年数学2B第4問≫

2018/10/19

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まずはこのメルマガで雰囲気を掴んでいただければ幸いです。


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■ 問題

第4問

 座標空間において、立方体OABC−DEFGの頂点を

  O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),
  D(0,0,3),E(3,0,3),F(3,3,3),G(0,3,3)

とし、ODを2:1に内分する点をK,OAを1:2に内分する点をLとする。
BF上の点M,FG上の点NおよびK,Lの4点は同一平面上にあり、
四角形KLMNは平行四辺形であるとする。

(1) 四角形KLMNの面積を求めよう。ベクトル→LKを成分で表すと

  →LK=([アイ],[ウ],[エ])

となり、四角形KLMNが平行四辺形であることにより、→LK=[オ]である。
[オ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。

{0} →ML  {1} →LM  {2} →NM  {3} →MN

 ここで、M(3,3,s),N(t,3,3)と表すと、→LK=[オ]であるので、
s=[カ],t=[キ]となり、NはFGを1:[ク]に内分することがわかる。
 また、→LKと→LMについて

  →LK・→LM=[ケ],|→LK|=√[コ],|→LM|=√[サシ]

となるので、四角形KLMNの面積は√[スセ]である。

(2) 四角形KLMNを含む平面をαとし、点Oを通り平面αと垂直に交わる直線を
l,αとlの交点をpとする。|→OP|と三角錐OLMNの体積を求めよう。

 P(p,q,r)とおくと、→OPは→LKおよび→LMと垂直であるから、
→OP・→LK=→OP・→LM=[ソ]となるので、p=[タ]r,
q=([チツ]/[テ])rであることがわかる。→OPと→PLが垂直であることに
より、r=[ト]/[ナニ]となり、|→OP|を求めると

  |→OP|=[ヌ]√[ネノ]/[ハヒ]

である。|→OP|は三角形LMNを底面とする三角錐OLMNの高さであるから、
三角錐OLMNの体積は[フ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、ベクトルaは→a、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの足し算とかけ算
 ◆3 まずは条件をしっかり確認
 ◆4 平行四辺形なら対辺が等しく平行

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 まずは条件をしっかり確認

では、この辺で今回の問題に戻りましょう!
今回は空間のベクトルを取り扱います。

空間というと、「難しい」というイメージが先行してしまう人が多いですが、
実は、大学入試の問題としては、空間の方が簡単な場合があります。
空間の方が、基本的な構造が複雑なので、その分与えられる図形や数字が簡単に
なることがあるからです。
まぁとにかく、「空間だからといって難しいとは限らない」と考えて、
落ち着いて条件を確認すると良いですよ!

さて、「座標空間において、立方体OABC−DEFGの頂点を」とあり、
8点の座標が示されています。これらの座標から、「1辺が3の立方体なんだな」
と読み取っておいてください。

空間なので、ちょっと描きづらいですが、できればしっかり図示した方が
よいです。

図を描いてみると、下側の正方形は、原点から左回りにO→A→B→Cで、
上側の正方形は、原点の真上がDで、同じく左回りにD→E→F→G
であることがわかります。

さらに「ODを2:1に内分する点をK,OAを1:2に内分する点をL」
とあります。
つまり、これらはKはz軸上で(0,0,2)、Lはx軸上で(1,0,0)です。

ということは、→LK=(0,0,2)−(1,0,0)=(−1,0,2)となり
ます。

よって、[アイ]=−1,[ウ]=0,[エ]=2


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 ◆4 平行四辺形なら対辺が等しく平行

そして「BF上の点M,FG上の点NおよびK,Lの4点は同一平面上にあり、
四角形KLMNは平行四辺形である」とあります。

まずはこの通りにM,Nをとり、四角形KLMNを描いてみましょう!

KLMNは平行四辺形というところがポイントです。
平行四辺形なので、対辺が等しく、平行ですね。
ということは・・・


(以下略)


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