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大学入試センター試験過去問解説

今や大学受験に必須と言っても過言ではない大学入試センター試験。毎回1問ずつ詳細に解説していきます。

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創刊日:2009-01-29  
最終発行日:2017-11-17  
発行周期:隔週刊  
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◇◆ センター過去問解説 ◆◇ ≪2013年数学1A第4問≫

2017/11/17

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■ 問題

第4問

(1) 1から4までの数字を、重複を許して並べてできる4桁の自然数は、
全部で[アイウ]個ある。

(2) (1)の[アイウ]個の自然数のうちで、1から4までの数字を重複なく
使ってできるものは[エオ]個ある。

(3) (1)の[アイウ]個の自然数のうちで、1331のように、異なる二つの数字を
2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。

 (i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は[カ]通りある。

 (ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの
 2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は[キ]通りある。小さい方の
 数字を置く場所を決めると、大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に
 決まる。

 (iii) (i)と(ii)より、求める個数は[クケ]個である。

(4) (1)の[アイウ]この自然数を、それぞれ別々のカードに書く。できた
[アイウ]枚のカードから1枚引き、それに書かれた数の四つの数字に応じて
得点を次のように定める。

  ・四つとも同じ数字のとき      9点
  ・2回現れる数字が二つあるとき   3点
  ・3回現れる数字が一つと、
   1回だけ現れる数が一つあるとき  2点
  ・2回現れる数字が一つと、
   1回だけ現れる数字が二つあるとき 1点
  ・数字の重複がないとき       0点

(i) 得点が9点となる確率は[コ]/[サシ],得点が3点となる確率は[ス]/[セソ]
である。

(ii) 得点が2点となる確率は[タ]/[チツ],得点が1点となる確率は[テ]/[トナ]
である。

(iii) 得点の期待値は[ニ]/[ヌ]点である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 過不足なく数える
 ◆2 PとC、掛けるときと足すとき
 ◆3 4つとも4通り
 ◆4 重複せずに並べる→順列


(以下略)


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■ 解説


(◆1,2は省略します)


 ◆3 4つとも4通り

2013年も、第4問は場合の数・確率の問題でした。
まずは1〜4の数字を重複を許して並べる場合の数についての設問です。

まずは基本から一つ一つ確認してみましょう。

重複を許して1〜4の数字を4つ並べるならば、1個目は4通りの数字を置く
ことができる。2個目も4通り、3個目も4通り、4個目も4通りの数字を
置くことができる。

つまり、4個とも4通りの可能性がある。といえます。

これらは同時に起こることなので、掛ける。
つまり、PでもCでも階乗でもなく、4を4回掛ければよいのです。
やってみると、

4^4=256

よって、求める場合の数は256通り。[アイウ]=256


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 ◆4 重複せずに並べる→順列

次は、重複せずに4つの数字を並べるときを聞いています。

重複しないということは、1度使った数字は再び使えません。

そんなときは・・・


(以下略)


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          発行者 江間淳(EMA Atsushi) 
 mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
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