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数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜

ちょっとしたコツと練習で高校数学の基礎は身につきます。教科書や参考書には書いていない、とっておきの話を現役の高校数学教師がお届けします。なるべく少なく覚えて、とことん使う!数学のセンスは後からでも身につきます!

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創刊日:2006-02-08  
最終発行日:2014-08-01  
発行周期:不定期  
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数学マスターへの道 第0128号 2次関数の決定(解答)

2014/08/01

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※初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を2、3書いておくことにします。


 ☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
 (例)xの2乗 ⇒ x^2

 ☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
 (例)数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
    対数の底a ⇒ log_a x



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  2次関数の決定(解答)

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問 グラフが次の条件を満たす2次関数の方程式を求めてください。

 (1) 頂点が( -1 , 4 )で、点( 2 , -14 )を通る。

  <解答>

  頂点が( -1 , 4 )であることから、求める2次関数の方程式は

    y = a( x + 1 )^2 + 4 

  とおくことができます。

  この2次関数のグラフが点( 2 , -14 )を通りますので、x = 2、y = -14

  を代入します。

    -14 = a( 2 + 1 )^2 + 4

    -14 = 9a + 4

    9a = -18

    a = -2

  したがって、求める2次関数の方程式は

    y = -2( x + 1 )^2 + 4

  すなわち

    y = -2x^2 - 4x + 2
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  となります。



 (2) 軸が x = 4 で、2点( 1 , 3 )、( 2 , -2 )を通る。

  <解答>

  軸が x = 4 であることから、求める2次関数の方程式は

    y = a( x - 4 )^2 + q

  とおくことができます。

  この2次関数のグラフが2点( 1 , 3 )、( 2 , -2 )を通りますので、

  x = 1、y = 3 と x = 2、y = -2 を代入します。

    ┌ 3 = a( 1 - 4 )^2 + q
    ┤
    └ -2 = a( 2 - 4 )^2 + q

  これを整理すると

    ┌ 9a + q = 3  …(イ)
    ┤
    └ 4a + q = -2  …(ロ)

  (イ)-(ロ)

    5a = 5

    a = 1 …(ハ)

  (ハ)を(イ)に代入します。

    9 + q = 3

    q = -6

  以上より求める2次関数の方程式は

    y = ( x - 4 )^2 - 6

  すなわち

    y = x^2 - 8x + 10
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  となります。



 (3) 3点( -1 , -8 )、( 2 , -2 )、( 4 , -28 )を通る。

  <解答>

  求める2次関数の方程式を

    y = ax^2 + bx + c

  とおきますと、3点( -1 , -8 )、( 2 , -2 )、( 4 , -28 )を通る

  ことから、x = -1、y = -8 と x = 2、y = -2 と x = 4、y = -28 を代入

  します。

    ┌ -8 = a・(-1)^2 + b・(-1) + c
    │
    ┤ -2 = a・2^2 + b・2 + c
    │
    └ -28 = a・4^2 + b・4 + c

  これを整理すると

    ┌ a - b + c = -8   …(ニ)
    │
    ┤ 4a + 2b + c = -2  …(ホ)
    │
    └ 16a + 4b + c = -28 …(ヘ)

  (ホ)-(ニ)

    3a + 3b = 6

    a + b = 2 …(ト)

  (ヘ)-(ニ)

    15a + 5b = -20

    3a + b = -4…(チ)

  (チ)-(ト)

    2a = -6

    a = -3 …(リ)

  (リ)を(ト)に代入します。

    -3 + b = 2

    b = 5 …(ヌ)

  (リ)、(ヌ)を(ニ)に代入します。

    -3 - 5 + c = -8

    c = 0

  以上より求める2次関数の方程式は

    y = -3x^2 + 5x
    ~~~~~~~~~~~~~~~~
  となります。






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